Problema de Optica

[~Empathy~]

Se da o lama plan paralela a carei indice de refractie variaza dea lungul lamei (nu dupa grosime) dupa formula:

n = na / (1 - x / R), unde na = 1.2 si R = 13cm.

Raza luminoasa cade pe lama perpendicular in punctul A, iar dupa traversarea ei paraseste in punctul B incheind cu directisa ei initiala un unghi de alpha = 30 deg. Determina grosimea lamei.

Problema e cum scriu conditiile de intrare si iesire din lama. ecuatiile diferentiale se rezolva apoi usor in Mathematica. Conditia de intrare nu gasesc cum as putea sa o exprim presupunanad ca x0 = 0 deoarece este o nedeterminare (deci nu poate fi conditie initiala) iar conditia de iesire se scrie ea usor (Sin[alpha] = n(x) Sin[z]), unde z e unghiul format de lumina cu directisa initiala IN LAMA.

Ceva sugestii? Teoretic daca determinam ecuatia curbei pe care se deplaseaza lumina e simplu mai departe, folosind teorema de medie.

[SoNic]

Cum este x=0 o nedeterminare??? Pai inlocuind obtii n=na. Si ai si z(0)=90deg.

[~Empathy~]

n(0) = na
z(0) = 90deg

n(0) * sin(90deg) = n(dx) * sin(90deg + dalpha)
n(0) = n(dx) * (sin(90deg)cos dalpha + cos(90deg)sin dalpha) -> n(dx) * (sin(90deg)cos dalpha + cos(90deg)dalpha) ->
n(dx) * cos dalpha

deci avem:

n(0) = n(dx) * cos dalpha

cos x = sqrt(1 - sin^2 x) => (cand x -> 0)
cos dalpha = sqrt(1 - sin^2 dalpha) -> sqrt(1 - (dalpha^2)) -> 1 - (1/2)dalpha^2 (am dezvoltat binomul si am pastrat numai termenii semnificativi)

n(0) = n(dx) (1 - (1/2)dalpha^2)
dn(x) = -(1/2) n(x) dalpha^2

Habar nu am sa rezolv ecuatia asta diferentiala. Sa vad ce zice Mathematica.

[SoNic]

Pai eu as face altfel:
n(0)=na
z(0)=90
Ce ai scris tu pentru intrarea in lama, plus relatia la iesirea dn lama (Legea Snell pt trecerea la aer):
n(x)sin(x)=1*sin30